Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

В данной статье рассмотрим на примере уязвимость, связанная с реализацией кривой Якоби (Jacobian Curve). В последние годы криптовалюты, такие как Биткоин, стали важной частью финансовой экосистемы. Однако с ростом их популярности увеличивается и количество угроз, связанных с кибербезопасностью. Одной из таких угроз является уязвимость алгоритма Jacobian Curve, которая затрагивает алгоритм цифровой подписи эллиптической кривой (ECDSA). Эта уязвимость позволяет злоумышленникам генерировать поддельные подписи, что может привести к серьезным последствиям для пользователей и целостности сети Биткоин.

Jacobian Curve algorithm vulnerability относится к недостаткам в реализации криптографии эллиптических кривых, в частности, затрагивающим ECDSA. Злоумышленники могут манипулировать математическими свойствами координат Якоби, используемых в вычислениях эллиптических кривых, что позволяет им создавать мошеннические транзакции с поддельными подписями, также Jacobian Curve algorithm vulnerability связана с недостатками в реализации криптографии эллиптических кривых, применяемых в ECDSA. Эта уязвимость позволяет злоумышленникам манипулировать математическими свойствами координат Якоби, используемых для генерации цифровых подписей. В результате таких манипуляций злоумышленники могут создавать мошеннические транзакции с поддельными подписями, которые будут приняты системой Биткоин как действительные.

Уязвимость возникает в процессе десериализации данных, который может быть использован для внедрения вредоносного кода и создания ложных подписей. В случае неправильной обработки данных злоумышленники получают возможность подделывать подписи ECDSA, что ставит под угрозу целостность системы Биткоин.


Потенциальные последствия

Основная угроза, связанная с этой уязвимостью, заключается в возможности несанкционированного доступа к средствам пользователей. Злоумышленники могут использовать поддельные подписи для создания транзакций, которые переводят биткоины из кошельков ничего не подозревающих пользователей на свои собственные счета. Это не только подрывает доверие к системе, но и может привести к значительным финансовым потерям для пользователей. Поддельные подписи позволяют злоумышленникам переводить средства с кошельков жертв на свои счета. Более того, такие атаки могут нарушить целостность блокчейна, создавая угрозу двойной траты и разрушая основной принцип работы системы.



Атака «отказ в обслуживании» (DoS) и утечки конфиденциальной информации, включая «приватные ключи пользователей».

Если определенные узлы в сети Биткоин скомпрометированы, это может привести к разветвлению блокчейна на несовместимые цепочки, создавая путаницу и потенциальные проблемы двойной траты. Кроме того, злоумышленники могут использовать эту уязвимость для запуска атак типа «отказ в обслуживании» (DoS), заполняя сеть недействительными транзакциями, что может сделать ее недоступной для законных пользователей.

Успешная эксплуатация этой уязвимости, также может вызвать рассогласование в состоянии консенсуса сети Биткоин, что приведет к разделению цепи блоков на несовместимые ветви. В результате могут возникнуть атаки типа «отказ в обслуживании» (DoS) и утечки конфиденциальной информации, включая приватные ключи пользователей.


Механизмы эксплуатации и влияние на мультиподписи

Уязвимость алгоритма Jacobian Curve особенно опасна для систем, использующих схемы мультиподписи, где для завершения транзакции требуется несколько подписей от разных участников. Злоумышленник может сгенерировать поддельные подписи, которые будут приняты системой, что ставит под угрозу не только отдельные транзакции, но и весь процесс использования мультиподписи.

Как нам стало известно, если входные данные пользователей не проверяются должным образом, это может привести к серьезным сбоям в работе системы Биткоин, где злоумышленник может воспользоваться моментом и внедрить вредоносный код и в конечном итоге манипулировать системой с помощью создание поддельной подписями в транзакций Биткоин.


Практическая часть

Из теории уязвимости алгоритма Jacobian Curve известно, что злоумышленники могут использовать уязвимость для проведения атак DoS, перегружая сеть недействительными транзакциями, что дестабилизирует работу сети Биткоин. Перейдем к практической части статьи и рассмотрим пример с использованием Биткоин кошелька: 15gCfQVJ68vyUVdb6e3VDU4iTkTC3HtLQ2 , где были потерянный монеты на сумму: 266.03138481 BTC на август 2024 года эта сумма составляет: 15747770,36 USD


Tutorials Power AI

Воспользуемся списком из «Tutorials Power AI» широко применяемая категория искусственного интеллекта для введение бизнеса в различных сферах деятельности криптоанализа и крипографии в целом.


Команда установки:


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

BitcoinChatGPT — это инновационный чат-бот на базе искусственного интеллекта, который помогает пользователям находить уязвимости в транзакциях криптовалюты Bitcoin. Преимущества и классификации BitcoinChatGPT дают возможность проверить ваш адрес Bitcoin на предмет различных схем атак на криптокошельки. Машинное обучение на основе криптоанализа дает нам полную возможность исследовать различные атаки на алгоритмы, используемые в экосистеме Bitcoin. Инструменты для извлечения закрытого ключа из реестра Bitcoin Wallet широко популярны, где BitcoinChatGPT служит важным и полезным ресурсом для кибербезопасности.


Применим уязвимость, связанная с реализацией кривой Якоби (Jacobian Curve) для создания Raw транзакции с помощью процесса машинного обучение BitcoinChatGPT

Рассмотрим построение структуры уязвимой Raw транзакции в котором используется модуль BitcoinChatGPT


Откроем версию Google Colab:

https://colab.research.google.com/drive/17PN1uHeeGhQFTKRx6s8OS3YftgxNvQzd#scrollTo=2dl8T79mn1YL



Соединим все выданные значение в одну общую строку:

Откроем опцию от BlockCypher «Decode A Transaction»:

https://live.blockcypher.com/btc/decodetx/

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

После декодирование уязвимой Raw транзакции Биткоина мы получаем результат:

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

https://github.com/demining/CryptoDeepTools/blob/50de2ffdd7f9f06a34049d1c72559aa16b1bf42c/35JacobianCurve/DecodeRawTX.txt#L31C30-L31C70


Transaction Script

The above script has been decoded

BitcoinChatGPT создает структуру транзакции, используя HASH публичного ключа, где мы видим что Bitcoin address: 15gCfQVJ68vyUVdb6e3VDU4iTkTC3HtLQ2 отправляет 1234 satoshi на тот же адрес внутри своей сети.

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Bitcoin HASH160 был получен с помощью Python Script: wif_to_hash160.py

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

https://github.com/demining/CryptoDeepTools/blob/main/35JacobianCurve/wif_to_hash160.py


Вопрос — Ответ:
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

В конечном итоге модуль BitcoinChatGPT выдает ответ в файл: KEYFOUND.privkey сохранив приватный ключ в двух наиболее используемых форматах HEX & WIF

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

https://github.com/demining/CryptoDeepTools/blob/main/35JacobianCurve/KEYFOUND.privkey


BitcoinChatGPT №4 Jacobian Curve Vulnerability Algorithm


Уязвимая Raw транзакция

Создадим из полученных данных уязвимую Raw транзакцию используя репозиторию Broadcast Bitcoin Transaction

Скачаем и установим исходный код откроем терминал и запустим команду:

Каталог:

Установим три важные библиотеки:

Запустим команду:

Откроем в Notepad++ основной файл и внесем небольшие изменение в коде Python Script: main.py



Запустим команду:

Откроем файл RawTX в каталоге:


Как нам известно из prompt ответов модуля BitcoinChatGPT Jacobian Curve Vulnerability Algorithm может быть использован для решения сложных криптографических задач.


Smart Transformers

Применим машинное обучение Smart Transformers, интегрируем блокнот Google Colab с Pytorch, TensorFlow, JAX и с помощью полученных данных уязвимой Raw транзакцией для Биткоин Адреса: 15gCfQVJ68vyUVdb6e3VDU4iTkTC3HtLQ2 создадим незащищённый файл wallet.dat из предложенного выбора всех существующих алгоритмов от SMART_IDENTIFY. После выполним Padding Oracle Attack на новосозданный файл: wallet.dat для расшифровки пароля в исходный бинарный формат с целью получение и извлечения приватного ключа из программной консоли Bitcoin Core используя при этом стандартную команду: dumpprivkey 15gCfQVJ68vyUVdb6e3VDU4iTkTC3HtLQ2


Откроем новый блокнот Google Colab по ссылке:

https://colab.research.google.com/#create=true

Клонируем репозиторий Smart Transformers
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Установим все необходимые пакеты и библиотеки:
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Команда:
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Добавим нашу уязвимую Raw транзакцию в текстовый документ: RawTX.txt для этого воспользуемся утилитой echo

Запустим команду:
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Теперь, чтобы получить точный алгоритм и метод для криптоанализы нам необходимо идентифицировать уязвимый RawTX с помощью утилиты SMART_IDENTIFY.

Запустим команду:

В результате мы получаем метод Jacobian_Curve_Algorithm, в ранних исследованиях тоже самое идентифицировал модуль BitcoinChatGPT.

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Откроем каталог:
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Запустим процесс создание файла wallet.dat для этого используем идентифицированные данные уязвимой Raw транзакции в файле: RawTX.txt для процесса применим утилиту Jacobian_Curve_Algorithm

Запустим команду:
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Откроем в левой панели Google Colab каталог и видим файл: wallet.dat Успешно создан!

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Откроем консоль и запустим команду:

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Мы видим что файл: wallet.dat принадлежит Биткоин Адресу: 15gCfQVJ68vyUVdb6e3VDU4iTkTC3HtLQ2


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Запустим команду для проверки приватного ключа:

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Мы видим предупреждение: Error: Please enter the wallet passphrase with walletpassphrase first. (code -13)


Padding Oracle Attack

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Воспользуемся методом Padding Oracle Attack на Wallet.dat и расшифруем пароль для доступа в бинарный формат пароля.


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Сначала получаем доступ к файлу wallet.dat на сумму: 266.03 BTC

Клонирование репозитории: Biggest Lost Bitcoin Wallets List


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Total Commander

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

https://github.com/smartibase/Biggest-Lost-Bitcoin-Wallets-List/tree/main/266.03%20BTC

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Скачаем и установим Bitcoin Core 0.18.0

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Откроем path: c:\Users\User\AppData\Roaming\Bitcoin\

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Переместим файл: wallet.dat

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

c:\Users\User\AppData\Roaming\Bitcoin\wallet.dat

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Запустим кошелек Bitcoin Core

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Encryt Wallet…


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Откроем консоль


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Bitcoin Address Information:

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Metasploit Framework and use MSFVenom

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Роль Metasploit Framework в разработке msfvenom

msfvenom — это инструмент, созданный путем объединения двух предыдущих инструментов:  
msfpayload и  msfencode. Он позволяет пользователям создавать полезные нагрузки для разных платформ и кодировщиков, а также предоставляет возможность настраивать параметры полезной нагрузки. msfvenom поддерживает различные форматы вывода, включая исполняемые файлы, скрипты и даже код для веб-приложений.

Metasploit Framework играет ключевую роль в разработке msfvenom по нескольким причинам:

1. Интеграция эксплойтов: msfvenom позволяет пользователям создавать полезные нагрузки, которые могут использоваться с эксплойтами из Metasploit. Это упрощает процесс тестирования на проникновение, поскольку пользователи могут быстро генерировать полезные нагрузки, соответствующие определенным уязвимостям.

2. Универсальность: Благодаря поддержке множества форматов и платформ msfvenom стал универсальным инструментом создания полезной нагрузки. Это позволяет специалистам по безопасности адаптировать свои атаки к различным системам и средам.

3. Обновления и поддержка: Metasploit Framework постоянно обновляется, что позволяет поддерживать msfvenom в актуальном состоянии и эффективности. Новые функции и улучшения в Metasploit напрямую влияют на возможности msfvenom, делая его более мощным и гибким.

4. Образование и исследования: Metasploit и msfvenom являются важными инструментами для образования и исследований в области кибербезопасности. Они позволяют студентам и специалистам по безопасности изучать уязвимости и методы эксплуатации в безопасной среде.

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Run ExploitDalenePRO.exe

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

decode_core.rb

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

https://github.com/bitcoin/bitcoin

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

https://github.com/bitcoin/bitcoin/blob/master/src/crypto/aes.h

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Upload Wallet.dat

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

result.json

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Run the command and get Private Key

The dumpprivkey command in Bitcoin Core

The dumpprivkey command is a command used in the Bitcoin Core wallet command line interface (CLI) to export the private key associated with a specific Bitcoin address. The syntax for the command is as follows:

dumpprivkey “address”

Where “address” is the Bitcoin address for which you want to receive the private key.

How dumpprivkey command works

When you type the dumpprivkey command, Bitcoin Core looks for the specified address in its wallet and, if found, returns the corresponding private key in WIF format. This allows the user to store the private key in a safe place or import it into another wallet.


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Private Key Information:


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Bitcoin Address Information:

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

https://www.coinbase.com/converter/btc/usd

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька


Установим библиотеку Bitcoin
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Запустим код для проверки соответствие Биткоин Адреса:
Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Откроем bitaddress и проверим:

Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Заключение и меры по смягчению угрозы:

Для защиты от угроз, связанных с уязвимостью Jacobian Curve, пользователям необходимо предпринять следующие шаги:

  1. Обновление программного обеспечения: Регулярное обновление криптовалютных кошельков до версий, устраняющих уязвимости, критически важно для обеспечения безопасности.
  2. Улучшение механизмов проверки подписей: Усиленная валидация входных данных и обработка ошибок помогут предотвратить создание поддельных подписей и защитить приватные ключи пользователей.
  3. Мониторинг сетевой активности: Постоянный анализ состояния сети и выявление подозрительных транзакций на ранних этапах позволяют оперативно реагировать на попытки эксплуатации уязвимостей.
  4. Применение многофакторной аутентификации: Внедрение дополнительных криптографических методов защиты значительно повысит безопасность.

Чтобы предотвратить возможные атаки, связанные с уязвимостью Jacobian Curve, пользователям Bitcoin настоятельно рекомендуется обновить программное обеспечение своих кошельков до последних версий, которые устраняют эту уязвимость. Регулярные обновления программного обеспечения, внедрение систем обнаружения аномалий и повышение осведомленности пользователей о возможных угрозах помогут сохранить целостность и безопасность криптовалютных систем.

Уязвимость алгоритма Jacobian Curve представляет собой значительную угрозу для безопасности криптовалютных транзакций и целостности блокчейна. Для минимизации рисков пользователи должны регулярно обновлять программное обеспечение, применять строгие меры безопасности и проводить постоянный мониторинг состояния сети. Эти меры помогут сохранить безопасность и устойчивость криптовалютных систем, защищая пользователей от потенциальных угроз и финансовых потерь.


References:

  1. Jacobians of Curves Abelian Varieties: 10/10/03 notes by W. Stein
  2. Jacobian of special singular curves KUBRA NARI AND ENVER OZDEMIR
  3. On the Jacobian Varieties of Hyperelliptic Curves over Fields of Characteristic p > 2 NORIKO YUI Received October 15, 1977
  4. Jacobian Coordinates on Genus 2 Curves Huseyin Hisil & Craig Costello Yasar University, Izmir, Turkey
  5. Jacobians of Curves of Genus One Harvard University Cambridge, Massachusetts April, 1999
  6. Jacobian curve of singular foliations Nuria Corral Article à paraître, mis en ligne le 3 juillet 2024.
  7. AN ADDITION ALGORITHM ON THE JACOBIAN VARIETIES OF CURVES (FOR APPLICATIONS TO PUBLIC KEY CRYPTOSYSTEM) S. ARITA, S. MIURA, AND T. SEKIGUCHI
  8. THE JACOBIAN AND FORMAL GROUP OF A CURVE OF GENUS 2 OVER AN ARBITRARY GROUND FIELD E. V. Flynn, Mathematical Institute, University of Oxford
  9. On the genus of curves in a Jacobian variety VALERIA ORNELLA MARCUCCI Mathematics Subject Classification (2010)
  10. LOCAL ARITHMETIC OF CURVES AND JACOBIANS P. Allen, F. Calegari, A. Caraiani, T. Gee, D. Helm, B. Le Hung, J. Newton, S. Scholze, R. Taylor, and J. Thorne, Potential automorphy
  11. Compactified Jacobians of nodal curves Lucia Caporaso Expanded notes for a minicourse given at the Istituto Sup
  12. Note on curves in a jacobian Compositio Mathematica, tome 88, no 3 (1993)
  13. Arithmetic on Jacobians of algebraic curves Giulio Di Piazza Damien Robert
  14. From the curve to its Jacobian and back Christophe Ritzenthaler Institut de Mathématiques de Luminy, CNRS Montréal
  15. Generalized Jacobians I Caleb Ji Background from algebraic geometry
  16. Hyperelliptic Curves and their Jacobians Benjamin Smith Isogeny school, online, 2021 Inria + École polytechnique, France
  17. Jacobian curves for normal complex surfaces Fran¸coise Michel Mathematics Subject Classification 2000
  18. THE JACOBIAN OF A RIEMANN SURFACE DONU ARAPURA Arapura, Riemann’s inequality and Riemann-Roch
  19. A curve and its abstract Jacobian Boris Zilber University of Oxford August 22, 2012
  20. Jacobians of Genus One Curves Sang Yook An and Seog Young Kim The University of Arizona
  21. JACOBIANS CURVILINEAR COORDINATES Created by T. Madas
  22. A GEOMETRIC APPROACH TO THE TWO-DIMENSIONAL JACOBIAN CONJECTURE ALEXANDER BORISOV
  23. Jacobian Varieties J.S. Milne June 12, 2021
  24. LOCAL ARITHMETIC OF CURVES AND JACOBIANS School of Mathematics and Statistics, University of Glasgow, University Place, Glasgow
  25. Notes on Jacobian varieties: a brief survey Juliana Coelho (UFF) March 28, 2017
  26. Fast Jacobian arithmetic for hyperelliptic curves of genus 3 Andrew V. Sutherland
  27. The Jacobian of a Transformation Proceedings of the Thirteenth Algorithmic Number Theory Symposium
  28. SEMINAR ON ALGEBRAIC GEOMETRY: “JACOBIANS OF CURVES” Organizers: Peter Scholze, Johannes Anschutz
  29. EQUATIONS FOR THE JACOBIAN OF A HYPERELLIPTIC CURVE PAUL VAN WAMELEN
  30. Comparatively Study of ECC and Jacobian Elliptic Curve Cryptography Anagha P. Zele , Avinash P. Wadhe
  31. THE RANK OF THE JACOBIAN OF MODULAR CURVES: ANALYTIC METHODS BY EMMANUEL KOWALSKI
  32. Space filling curves in their Jacobian Autor Thijs Limbeek Supervisors Prof. Dr. Ben Moonen Dr. Arne Smeets November 24, 2020


Данный материал создан для портала CRYPTO DEEP TECH для обеспечения финансовой безопасности данных и криптографии на эллиптических кривых secp256k1 против слабых подписей ECDSA в криптовалюте BITCOIN. Создатели программного обеспечения не несут ответственность за использование материалов.


Исходный код

Telegram: https://t.me/cryptodeeptech

Видеоматериал: https://youtu.be/qf6u85wGwNw

Video tutorial: https://dzen.ru/video/watch/66119078be267c07401d9e4c

Источник: https://cryptodeep.ru/jacobian-curve-algorithm-vulnerability


Манипуляции с координатами кривой Jacobian исследование уязвимости поддельной подписи с помощью декодируемого файла Биткоин Кошелька

Crypto Deep Tech